$a_n=a_1+(n-1)r$
Algebra
→Ciąg arytmetyczny — wyraz ogólny
Wzór na dowolny wyraz ciągu o stałej różnicy między kolejnymi elementami.
Baza wiedzy
Wszystkie wzory
Wybierz zagadnienie i przejdź od wzoru do pełnego zrozumienia.
$a_n=a_1q^{n-1}$
Algebra
→Ciąg geometryczny — wyraz ogólny
Wzór na wyraz ciągu, w którym każdy kolejny element powstaje przez mnożenie przez stały iloraz.
$\Delta=b^2-4ac$
Algebra
→Delta równania kwadratowego
Wyróżnik określający liczbę rzeczywistych rozwiązań równania kwadratowego.
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$
→$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$
Algebra
→Nierówność między średnimi
Zależność między średnią arytmetyczną i geometryczną liczb nieujemnych.
$|x|<a\Longleftrightarrow -a<x<a$
Algebra
→Nierówność z wartością bezwzględną
Podstawowa zamiana nierówności z wartością bezwzględną na nierówność podwójną.
$K_n=K_0(1+nr)$
Algebra
→Odsetki proste
Wzór na kapitał, gdy odsetki nie są dopisywane do podstawy w kolejnych okresach.
$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
Algebra
→Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
Zapis funkcji kwadratowej za pomocą jej miejsc zerowych.
$f(x)=a(x-p)^2+q$
Algebra
→Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
Zapis funkcji kwadratowej ujawniający współrzędne wierzchołka paraboli.
$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$
→$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Algebra
→Prawa działań na potęgach
Najważniejsze reguły mnożenia, dzielenia i potęgowania potęg o tej samej podstawie.
$K_n=K_0(1+r)^n$
→$y=ax,\qquad y=\frac{a}{x}$
Algebra
→Proporcjonalność prosta i odwrotna
Wzory opisujące dwa podstawowe rodzaje zależności między wielkościami.
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
Algebra
→Równanie kwadratowe i wzór na pierwiastki
Wzór pozwalający obliczyć rozwiązania równania kwadratowego na podstawie jego współczynników.
$x=-\frac{b}{a}$
→$|x|=a\Longrightarrow x=\pm a$
Algebra
→Równanie z wartością bezwzględną
Podstawowa reguła rozwiązywania równania, w którym wartość bezwzględna jest równa liczbie.
$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$
→$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$
→$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
→$S=\frac{a_1}{1-q}$
Algebra
→Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
Suma wszystkich wyrazów zbieżnego ciągu geometrycznego.
$R=P(a)\quad\text{dla dzielenia przez }x-a$
→$x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D}$
Algebra
→Układ równań — wzory Cramera
Wzory rozwiązujące układ dwóch równań liniowych za pomocą wyznaczników.
$\frac{1}{a+\sqrt b}=\frac{a-\sqrt b}{a^2-b}$
Algebra
→Usuwanie niewymierności z mianownika
Reguła wykorzystująca wyrażenie sprzężone do upraszczania ułamków z pierwiastkami.
$W=(p,q),\quad p=-\frac{b}{2a},\quad q=-\frac{\Delta}{4a}$
→$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$
Algebra
→Własności logarytmów
Reguły zamieniające logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi na prostsze działania.
$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
→$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Algebra
→Wzory skróconego mnożenia
Trzy podstawowe tożsamości, które przyspieszają rozwijanie i rozkładanie wyrażeń algebraicznych.
$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}$
→$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$
Algebra
→Zmiana podstawy logarytmu
Wzór pozwalający obliczyć logarytm przy użyciu innej, wygodnej podstawy.
$V_1=V_0\left(1+\frac{p}{100}\right)$
→$V=P_p h$
Geometria
→Objętość graniastosłupa
Objętość dowolnego graniastosłupa jako iloczyn pola podstawy i wysokości.
$V=\frac{4}{3}\pi r^3$
→$V=\frac13P_p h$
→$V=abc$
Geometria
→Objętość prostopadłościanu
Objętość bryły jako iloczyn długości trzech prostopadłych krawędzi.
$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$
→$V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$
Geometria
→Objętość stożka ściętego
Wzór na objętość bryły między dwiema równoległymi kołowymi podstawami.
$V=a^3$
→$V=\pi r^2h$
→$L=2\pi r=\pi d$
→$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
→$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
Geometria
→Odległość punktu od prostej
Wzór na najkrótszą odległość punktu od prostej w układzie współrzędnych.
$P=\pi r^2$
→$P_c=2P_p+P_b$
Geometria
→Pole powierzchni graniastosłupa
Pole całkowite graniastosłupa jako suma pól podstaw i ścian bocznych.
$P=4\pi r^2$
→$P_c=\pi r^2+\pi rl$
→$P_c=6a^2$
→$P_c=2\pi r^2+2\pi rh$
Geometria
→Pole powierzchni walca
Pole całkowite walca jako suma pól dwóch podstaw i powierzchni bocznej.
$P=ab$
→$P=\frac{ef}{2}$
→$P=ah$
Geometria
→Pole równoległoboku
Pole równoległoboku jako iloczyn podstawy i odpowiadającej jej wysokości.
$P=\frac{3\sqrt3}{2}a^2$
→$P=\frac{(a+b)h}{2}$
→$P=\frac{ah}{2}$
→$P=\frac{a^2\sqrt3}{4}$
→$P=\frac{na^2}{4\tan(\pi/n)}$
→$d=a\sqrt2$
→$d=\sqrt{a^2+b^2}$
→$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Geometria
→Przekątna prostopadłościanu
Wzór na odcinek łączący przeciwległe wierzchołki prostopadłościanu.
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
→$a^2+b^2=c^2$
Geometria
→Twierdzenie Pitagorasa
Zależność między bokami trójkąta prostokątnego oraz przykładowe obliczenie.
$l=\sqrt{r^2+h^2}$
→$h=\frac{a\sqrt3}{2}$
→$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}{2}$
→$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
→$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$
→$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
→$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
→$\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
→$\sin \alpha=\frac{a}{c}$
Trygonometria
→Funkcje trygonometryczne w trójkącie
Definicje sinusa, cosinusa i tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
$\cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$
→$\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$
Trygonometria
→Iloczyn sinusa i cosinusa
Wzór zamieniający iloczyn funkcji trygonometrycznych na sumę sinusów.
$\sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$
→$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
→$1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$
→$1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$
Trygonometria
→Jedynka trygonometryczna z tangensem
Tożsamość łącząca tangens i cosinus tego samego kąta.
$P=\frac12 ab\sin\gamma$
→$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
→$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
→$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
→$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$
→$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
→$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
→$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
→$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
→$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Trygonometria
→Tangens jako iloraz sinusa i cosinusa
Podstawowa tożsamość definiująca tangens za pomocą sinusa i cosinusa.
$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
→$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$
→$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
→$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
→$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$
Trygonometria
→Twierdzenie sinusów
Zależność między bokami trójkąta i sinusami kątów leżących naprzeciw nich.
$\alpha_{\mathrm{rad}}=\alpha_{\mathrm{deg}}\frac{\pi}{180^\circ}$
Trygonometria
→Zamiana stopni na radiany
Proporcja umożliwiająca przechodzenie między miarą stopniową i łukową kąta.
$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
→$\int\frac{1}{\cos^2x}\,dx=\tan x+C$
→$\int\cos x\,dx=\sin x+C$
→$\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$
Analiza matematyczna
→Całka z funkcji wykładniczej aˣ
Wzór na całkę funkcji wykładniczej o dodatniej podstawie różnej od jedności.
$\int e^x\,dx=e^x+C$
Analiza matematyczna
→Całka z funkcji wykładniczej eˣ
Podstawowy wzór na całkę funkcji wykładniczej o podstawie e.
$\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$
→$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$
→$\int u\,dv=uv-\int v\,du$
→$\int f(g(x))g^\prime(x)\,dx=F(g(x))+C$
Analiza matematyczna
→Całkowanie przez podstawienie
Reguła całkowania funkcji złożonej przez zmianę zmiennej.
$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$
Analiza matematyczna
→Granica sin x przez x
Jedna z podstawowych granic wykorzystywanych w analizie matematycznej.
$(\arccos x)^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
→$(\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
→$(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1+x^2}$
→$(\cos x)^\prime=-\sin x$
→$(\cot x)^\prime=-\frac{1}{\sin^2x}$
→$(x^n)'=nx^{n-1}$
Analiza matematyczna
→Pochodna funkcji potęgowej
Reguła obliczania pochodnej potęgi i jej interpretacja.
$(a^x)^\prime=a^x\ln a$
Analiza matematyczna
→Pochodna funkcji wykładniczej
Wzór na pochodną funkcji wykładniczej o dowolnej dodatniej podstawie.
$(fg)^\prime=f^\prime g+fg^\prime$
→$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime g-fg^\prime}{g^2}$
Analiza matematyczna
→Pochodna ilorazu
Reguła różniczkowania ilorazu funkcji przy niezerowym mianowniku.
$(\ln x)^\prime=\frac1x$
→$(\log_a x)^\prime=\frac{1}{x\ln a}$
Analiza matematyczna
→Pochodna logarytmu o podstawie a
Wzór na pochodną logarytmu o dowolnej dopuszczalnej podstawie.
$(\sqrt{x})^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Analiza matematyczna
→Pochodna pierwiastka
Wzór na pochodną funkcji będącej pierwiastkiem kwadratowym z x.
$(\sin x)^\prime=\cos x$
→$(f+g)^\prime=f^\prime+g^\prime$
→$(\tan x)^\prime=\frac{1}{\cos^2x}$
→$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))g^\prime(x)$
→$y=f^\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$
Analiza matematyczna
→Równanie stycznej do wykresu
Wzór na prostą styczną do wykresu funkcji w wybranym punkcie.
$f_{\mathrm{sr}}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx$
→$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
Analiza matematyczna
→Wzór Newtona–Leibniza
Sposób obliczania całki oznaczonej za pomocą funkcji pierwotnej.
$SE=\frac{s}{\sqrt n}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Błąd standardowy średniej
Miara niepewności średniej oszacowanej na podstawie próby.
$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Gęstość rozkładu normalnego
Funkcja gęstości jednego z najważniejszych rozkładów ciągłych.
$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Kombinacje bez powtórzeń
Liczba sposobów wybrania k elementów ze zbioru n elementów, gdy kolejność nie ma znaczenia.
$\binom{n+k-1}{k}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Kombinacje z powtórzeniami
Liczba nieuporządkowanych wyborów k elementów z możliwością powtarzania.
$\operatorname{cov}(X,Y)=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$
→$Me=x_{(n+1)/2}\quad\text{dla nieparzystego }n$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Mediana zbioru danych
Wzór na środkową wartość uporządkowanego zbioru danych.
$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Odchylenie standardowe
Miara rozproszenia danych wyrażona w tej samej jednostce co obserwacje.
$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Odchylenie standardowe z próby
Pierwiastek z nieobciążonej wariancji obliczonej na podstawie próby.
$P_n=n!$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Permutacje bez powtórzeń
Liczba możliwych ustawień wszystkich n różnych elementów.
$P=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Permutacje z powtórzeniami
Liczba różnych ustawień elementów, gdy część z nich jest jednakowa.
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Prawdopodobieństwo klasyczne
Wzór dla doświadczeń z jednakowo prawdopodobnymi wynikami elementarnymi.
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
Wzór na prawdopodobieństwo zajścia co najmniej jednego z dwóch zdarzeń.
$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo zdarzenia A przy założeniu, że zaszło zdarzenie B.
$P(A^\prime)=1-P(A)$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
Wzór łączący prawdopodobieństwo zdarzenia i jego dopełnienia.
$\bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Przedział ufności dla średniej
Przedział ufności dla średniej przy znanym odchyleniu standardowym populacji.
$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Rozkład dwumianowy
Prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w n niezależnych próbach.
$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Rozkład Poissona
Prawdopodobieństwo liczby zdarzeń występujących ze stałą średnią intensywnością.
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Średnia arytmetyczna
Sposób obliczania średniej zbioru liczb wraz z prostym przykładem.
$\bar{x}_w=\frac{\sum_{i=1}^n w_ix_i}{\sum_{i=1}^n w_i}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Średnia ważona
Średnia uwzględniająca różne znaczenie lub liczebność poszczególnych wartości.
$P(B)=\sum_iP(B\mid A_i)P(A_i)$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Wzór rozkładający prawdopodobieństwo zdarzenia według rozłącznych przypadków.
$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Wariacje bez powtórzeń
Liczba uporządkowanych wyborów k różnych elementów spośród n.
$\overline{V}_n^k=n^k$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Wariacje z powtórzeniami
Liczba uporządkowanych wyborów k elementów spośród n z możliwością powtarzania.
$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Wariancja populacji
Miara przeciętnego kwadratowego odchylenia obserwacji od średniej.
$\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Wariancja rozkładu dwumianowego
Wariancja liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego.
$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Wariancja z próby
Nieobciążony estymator wariancji populacji obliczany na podstawie próby.
$E(X)=np$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego
Średnia liczba sukcesów w n niezależnych próbach Bernoulliego.
$E(X)=\sum_i x_iP(X=x_i)$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Średnia teoretyczna wartości dyskretnej zmiennej losowej.
$r=\frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Współczynnik korelacji Pearsona
Standaryzowana miara liniowej zależności dwóch cech.
$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
Statystyka i prawdopodobieństwo
→Wynik standaryzowany z-score
Wzór określający, o ile odchyleń standardowych obserwacja leży od średniej.
$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$
→$P(A\cap B)=P(A)P(B)$
→